Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь складывать и умножать в ней любые числа. Арифметические действия в двоичной системе счисления выполняют по тем же правилам, что и в десятичной системе, с той лишь разницей, что основание системы равно двум .

Правила двоичной арифметики

Сложение и вычитание двоичных чисел основаны на правилах этих действий в пределах одного разряда и правилах учета межразрядных переносов и займов.

Для операций сложения, вычитания и умножения используются правила, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Правила арифметических операций

Перенос, возникающий в i -м разряде, передается в следующий (i +1)-разряд с увеличенным вдвое весом и уменьшенным вдвое значением.

Заем из (i +1)-го разряда передается в i-й разряд с уменьшенным вдвое весом и увеличенным вдвое значением.

Приведем пример сложения двух двоичных чисел. Справа показано сложение тех же чисел в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание на то, что перенос в соседний (старший) разряд возникает в том случае, если сумма цифр данного разряда больше или равна основанию системы счисления.

При вычитании двоичных чисел (см. табл. 3.1) в данном разряде при необходимости занимается единица из соседнего (старшего) разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Например, при вычитании:

единица из разряда с весом 2 4 была занята в разряд с весом 2 3 ; эта единица стала там двойкой, и в разряде с весом 2 3 выполнилось вычитание 10-1 = 1; на месте разряда с весом 2 4 в уменьшаемом фактически остался нуль.

Распространение займа сразу на несколько более старших разрядов можно проследить на примере вычитания чисел 101110,001 (2) и 101,011 (2) . Записав числа друг под другом:

нетрудно заметить, что в разряде с весом 2 -2 в результате вычитания должен произойти заем из разряда с весом 2 1 . Перепишем пример с учетом фактического расположения цифр после заема и выполним вычитание. Вместо зачеркнутых цифр необходимо использовать в качестве уменьшаемого надписанные цифры. Окончательный результат (разность) составляет 101000,110 (2) .

Пример . Уменьшаемое 1000000 (2) , вычитаемое 1 (2) , разность составляет

В соответствии с правилами можно эффективно организовать последовательное умножение множимого на разряды множителя. При каждом умножении на разряд множителя, равный 1, множимое передается в сумматор с накапливающим регистром; если разряд множителя равен 0, передача множимого в сумматор блокируется. Каждый раз при передаче множимого в сумматор должен быть учтен вес очередного разряда множителя путем сдвига накапливаемого частичного произведения или множимого. Таким образом, основу устройства умножения составляет устройство сложения, к которому добавляются регистры множителя и множимого, а также цепи сдвига частичных произведений и множимого.

Операция деления выполняется путем последовательных вычитаний делителя из промежуточных остатков, а устройство деления состоит из вычитателя с накапливающим регистром, регистра частного и регистра делителя с цепями сдвига остатков или делителя.

В основном арифметические операции выполняются на одном общем устройстве, называемом арифметико-логическим устройством (АЛУ).

Старшие разряды сумматоров с наименьшими весами разрядов участвуют в операциях сложения как обычные числовые разряды, но дополнительно они выполняют функции знаковых разрядов.

Двоичная арифметика

Двоичная система счисления

Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = C n C n-1 …C 1 C 0 C -1 C -m есть сумма степеней числа Р = 2,

C = C n × 2 n +C n-1 × 2 n-1 +…+C 1 × 2 1 +C 0 × 2 0 +C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

Пример 3.6.

101011,11 2 =1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 +1×2 1 + 1×2 0 +1×2 -1 + 1×2 -2 = 32+8+2+1+0,5+0,25=43,75 10 .

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления

Таблица 2

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления всœе десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Пример 3.7.

Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

• требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;
• существенно упрощаются арифметические операции;
• оборудования требуется в 1,5 раза меньше;
• позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем.

Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

• большая длина записи чисел;
• при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Правила арифметики во всœех позиционных системах счисления одинаковы, ᴛ.ᴇ. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, делœение - со старших.

При сложении единица переноса складывается с цифрами сосœеднего старшего разряда. При вычитании единица заема старшего разряда дает две единицы в младшем сосœеднем разряде.

Пример 3.8

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения.

Пример 3.9

Двоичная арифметика - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Двоичная арифметика" 2017, 2018.

При использовании материалов этого сайта - и размещение баннера -ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!

Двоичная арифметика

Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789".

Так шло развитие математики, что именно этот набор стал главным, но десятичная арифметика не единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятиричную арифметику, из семи цифр - семиричную. В областях знаний связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатиричной. Чтобы понять, что такое число в не десятичной арифметике сначала выясним, что такое число в десятичной арифметике.

Возьмём, к примеру, число 246. Эта запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Наиболее интересна нам сейчас третья форма записи: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . Она устроена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры. Уяснив сказанное, мы можем записать общую формулу представления десятичного числа. Пусть дано число, в котором N цифр. Будем обозначать i-ю цифру через a i. Тогда число можно записать в следующем виде: a n a n-1 ….a 2 a 1 . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

где a i это символ из набора "0123456789"

В этой записи очень хорошо видна роль десятки. Десятка является основой образования числа. И кстати она так и называется "основание системы счисления", а сама система счисления, поэтому так и называется "десятичной". Конечно, никакими особыми свойствами число десять не обладает. Мы вполне можем заменить десять на любое другое число. Например, число в пятиричной системе счисления можно записать так:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

где a i это символ из набора "01234"

В общем, заменяем 10 на любое другое число и получаем совершенно другую систему счисления и другую арифметику. Наиболее простая арифметика получается, если 10 заменить на 2. Полученная система счисления называется двоичной и число в ней определяется следующим образом:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

где a i это символ из набора "01"

Эта система самая простая из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1. Понятно, что проще уже некуда. Примеры двоичных чисел: 10, 111, 101.

Очень важный вопрос. Можно ли двоичное число представить в виде десятичного числа и наоборот, можно ли десятичное число представить в виде двоичного.

Двоичное в десятичное. Это очень просто. Метод такого перевода даёт наш способ записи чисел. Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки. Получим следующее:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Выполним все записанные действия и получим:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Таким образом, получаем, что 1011(двоичное) = 11 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То же самое число, которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует четыре знака. Но это плата за простоту (бесплатно ничего не бывает) . Но выигрыш двоичная система даёт огромный в арифметических действиях. И далее мы это увидим.

Представьте в виде десятичного числа следующие двоичные числа.

а) 10010 б) 11101 с) 1010 в) 1110 г) 100011 д) 1100111 е) 1001110

Сложение двоичных чисел.

Способ сложения столбиком в общем-то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. (Сложите пару чисел столбиком вспомните как это делается.) Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду (говорят "на ум пошло").

Выполним пример: 10011 + 10001.

Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Второй разряд : 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Третий разряд : 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1.

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

Примеры для самостоятельного решения:

а) 11001 +101 =

б) 11001 +11001 =

с) 1001 + 111 =

д) 10011 + 101 =

е) 11011 + 1111 =

д) 11111 + 10011 =

Как десятичное число перевести в двоичное. На очереди следующая операция - вычитание. Но этой операцией мы займёмся немного позже, а сейчас рассмотрим метод преобразования десятичного числа в двоичное.

Для того, чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, его нужно разложить по степеням двойки. Но если разложение по степеням десятки получается сразу, то, как разложить по степеням двойки надо немного подумать. Для начала рассмотрим, как это сделать методом подбора. Возьмём десятичное число 12.

Шаг первый. 2 2 = 4, этого мало. Также мало и 2 3 = 8, а 2 4 =16 это уже много. Поэтому оставим 2 3 =8. 12 - 8 = 4. Теперь нужно представить в виде степени двойки 4.

Шаг второй. 4 = 2 2 .

Тогда наше число 12 = 2 3 + 2 2 . Старшая цифра имеет номер 4, старшая степень = 3, следовательно, должны быть слагаемые со степенями двойки 1 и 0. Но они нам не нужны, поэтому чтобы избавится от ненужных степеней, и оставить нужные запишем число так: 1*2 3 + 1*2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - это и есть двоичное представление числа 12. Нетрудно заметить, что каждая очередная степень - это наибольшая степень двойки, которая меньше разлагаемого числа. Чтобы закрепить метод рассмотрим ещё один пример. Число 23.

Шаг 1. Ближайшая степень двойки 2 4 = 16. 23 -16= 7.

Шаг 2. Ближайшая степень двойки 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Шаг 3. Ближайшая степень двойки 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Шаг 4. Ближайшая степень двойки 2 0 =1 1 - 1 =0

Получаем следующее разложение: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

А наше искомое двоичное число 10111

Рассмотренный выше метод хорошо решает поставленную перед ним задачу, но есть способ который алгоритмизируется значительно лучше. Алгоритм этого метода записан ниже:

Пока ЧИСЛО больше нуля делать

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = остаток от деления ЧИСЛА на 2

ЧИСЛО = целая часть от деления ЧИСЛА на 2

Когда этот алгоритм завершит свою работу, последовательность вычисленных ОЧЕРЕДНЫХ ЦИФР и будет представлять двоичное число. Для примера поработаем с числом 19.

Начало алгоритма ЧИСЛО = 19

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = 1

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = 1

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = 0

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = 0

ОЧЕРЕДНАЯ ЦИФРА = 1

Итак, в результате имеем следующее число 10011. Заметьте, что два рассмотренных метода отличаются порядком получения очередных цифр. В первом методе первая полученная цифра - это старшая цифра двоичного числа, а во втором первая полученная цифра наоборот младшая.

Преобразуйте десятичные числа в двоичные двумя способами

а) 14 б) 29 в) 134 г) 158 е) 1190 ж) 2019

Как преобразовать в десятичное число дробную часть.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной и обыкновенной дроби. Обыкновенная дробь, то есть дробь вида А/В может быть правильной и неправильной. Дробь называется правильной если А<В и неправильной если А>В.

Если рациональное число представлено неправильной дробью, и при этом числитель дроби делится на знаменатель нацело, то данное рациональное число - число целое, во всех иных случаях возникает дробная часть. Дробная часть зачастую бывает очень длинным числом и даже бесконечным (бесконечная периодическая дробь, например 20/6), поэтому в случае с дробной частью у нас возникает не просто задача перевода одного представления в другое, а перевод с определённой точностью.

Правило точности. Предположим, дано десятичное число, которое в виде десятичной дроби представимо с точностью до N знаков. Для того, чтобы соответствующее двоичное число было той же точности, в нём необходимо записать M - знаков, так что бы

А теперь попробуем получить правило перевода, и для начала рассмотрим пример 5,401

Решение:

Целую часть мы получим по уже известным нам правилам, и она равна двоичному числу 101. А дробную часть разложим по степеням 2.

Шаг 1: 2 -2 = 0,25; 0,401 - 0,25 = 0,151. - это остаток.

Шаг 2: Сейчас необходимо степенью двойки представить 0,151. Сделаем это: 2 -3 = 0,125; 0,151 - 0,125 = 0,026

Таким образом, исходную дробную, часть можно представить в виде 2 -2 +2 -3 . То же самое можно записать таким двоичным числом: 0,011. В первом дробном разряде стоит ноль, это потому, что в нашем разложении степень 2 -1 отсутствует.

Из первого и второго шагов ясно, что это представление не точное и может быть разложение желательно продолжить. Обратимся к правилу. Оно говорит, что нам нужно столько знаков М чтобы 10 3 было меньше чем 2 М. То есть 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Шаг 3: Сейчас работаем с числом 0,026. Ближайшая к этому числу степень двойки 2 -6 = 0,015625; 0,026 - 0,015625 = 0,010375 теперь наше более точное двоичное число имеет вид: 0,011001. После запятой уже шесть знаков, но этого пока недостаточно, поэтому выполняем ещё один шаг.

Шаг 4: Сейчас работаем с числом 0,010375. Ближайшая к этому числу степень двойки 2 -7 = 0,0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Шаг 5: Сейчас работаем с числом 0,0025625. Ближайшая к этому числу степень двойки 2 -9 = 0,001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Последний получившийся остаток меньше чем 2 -10 и если бы мы желали продолжать приближение к исходному числу, то нам бы понадобилось 2 -11 , но это уже превосходит требуемую точность, а следовательно расчёты можно прекратить и записать окончательное двоичное представление дробной части.

0,401 = 0,011001101

Как видно, преобразование дробной части десятичного числа в двоичное представление немного более сложно, чем преобразование целой части. Таблица степеней двойки в конце лекции.

А сейчас запишем алгоритм преобразования:

Исходные данные алгоритма: Через А будем обозначать исходную правильную десятичную дробь записанную в десятичной форме. Пусть эта дробь содержит N знаков.

Алгоритм

Действие 1. Определим количество необходимых двоичных знаков М из неравенства 10 N < 2 M

Действие 2: Цикл вычисления цифр двоичного представления (цифры после нуля). Номер цифры будем обозначать символом К.

1. Номер цифры = 1
2. Если 2 -К > А

То в запись двоичного числа добавляем ноль

• в запись двоичного числа добавляем 1
• А = А - 2 -К

1. К = К + 1
2. Если К > М

• то работа алгоритма завершена
• Иначе переходим на пункт 2.

Переведите десятичные числа в двоичные

а) 3,6 б) 12,0112 в) 0,231 г) 0,121 д) 23, 0091

Вычитание двоичных чисел. Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем. Решим следующий пример:

Первый разряд. 1 - 0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0 -1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд . Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Верное равенство.

Еще один интересный способ выполнения вычитания связан с понятием дополнительного кода, который позволяет свести вычитание к сложению. Получается число в дополнительном коде исключительно просто, берём число, заменяем нули на единицы, единицы наоборот заменяем на нули и к младшему разряду добавляем единицу. Например, 10010, в дополнительном коде будет 011011.

Правило вычитания через дополнительный код утверждает, что вычитание можно заменить на сложение если вычитаемое заменить на число в дополнительном коде.

Пример: 34 - 22 = 12

Запишем этот пример в двоичном виде. 100010 - 10110 = 1100

Дополнительный код числа 10110 будет такой

01001 + 00001 = 01010. Тогда исходный пример можно заменить сложением так 100010 + 01010 = 101100 Далее необходимо отбросить одну единицу в старшем разряде. Если это сделать то, получим 001100. Отбросим незначащие нули и получим 1100, то есть пример решён правильно

Выполните вычитания. Обычным способом и в дополнительном коде, переведя предварительно десятичные числа в двоичные:

Выполните проверку переведя двоичный результат в десятичную систему счисления.

Умножение в двоичной системе счисления.

Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль.

Пример. 10101 * 10 = 101010

Проверка.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком):

1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так:

Проверка:

101 = 5 (десятичное)

1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное)

5*11 = 55 верное равенство

Решите самостоятельно

а) 1101 * 1110 =

б) 1010 * 110 =

д) 101011 * 1101 =

е) 10010 * 1001 =

Примечание: Кстати таблица умножения в двоичной системе состоит только из одного пункта 1 * 1 = 1

Деление в двоичной системе счисления.

Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.

Мы выделяем справа (от старшего разряда) такое количество цифр, чтобы получившееся число было как можно меньше и в то же время больше делителя. 2 - меньше делителя, следовательно, необходимое нам число 23. Затем делим полученное число на делитель с остатком. Получаем следующий результат:

Описанную операцию повторяем до тех пор, пока полученный остаток не окажется меньше делителя. Когда это случится, число полученное под чертой, это частное, а последний остаток - это остаток операции. Так вот операция деления двоичного числа выполняется точно также. Попробуем

Пример: 10010111 / 101

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1. Выполним шаг операции.

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:

1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру).

Третий шаг. Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так:

Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина:

Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное.

Проверим в десятичных числах

На этом мы заканчиваем описание простейших арифметических операций, которые необходимо знать, для того, чтобы пользоваться двоичной арифметикой, и теперь попробуем ответить на вопрос "Зачем нужна двоичная арифметика". Конечно, выше уже было показано, что запись числа в двоичной системе существенно упрощает арифметические операции, но в то же время сама запись становится значительно длиннее, что уменьшает ценность полученного упрощения, поэтому необходимо поискать такие задачи, решение которых существенно проще в двоичных числах.

Задача 1: Получение всех выборок

Очень часто встречаются задачи, в которых нужно уметь построить все возможные комбинации из заданного набора предметов. Например, такая задача:

Дана большая куча камней, разложить камни по двум кучам таким образом, чтобы масса этих двух куч была как можно более одинаковой.

Эту задачу можно сформулировать так:

Найти такую выборку камней из большой кучи, что её общая масса будет как можно менее отличаться от половины массы большой кучи.

Задач такого сорта довольно много. И все они сводятся, как уже было сказано к умению получить все возможные комбинации (далее мы будем называть их выборками) из заданного набора элементов. И сейчас мы рассмотрим общий метод получения всех возможных выборок с использованием операции сложения двоичных чисел. А начнём с примера. Пусть есть множество из трёх предметов. Построим все возможные выборки. Предметы будем обозначать порядковыми номерами. То есть, имеются следующие предметы: 1, 2, 3.

Выборки: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Если в позиции с очередным номером стоит единица, то это означает, что элемент с номером равным этой позиции присутствует в выборке, а если стоит ноль, то элемент не присутствует. Например, выборка (0, 1, 0); состоит из одного элемента с номером 2, а выборка (1, 1, 0); состоит из двух элементов с номерами 1 и 2.

Из этого примера ясно видно, что выборку можно представить в виде двоичного числа. Кроме того, нетрудно заметить, что выше записаны все возможные одно, двух и трехзначные двоичные числа. Перепишем их следующим образом:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Мы получили ряд последовательных двоичных чисел, каждое из которых получается из предыдущего прибавлением единицы. Можете это проверить. Используя эту замеченную закономерность можно построить следующий алгоритм получения выборок.

Исходные данные алгоритма

Дан набор предметов N - штук. Далее будем называть этот набор множеством исходных элементов. Пронумеруем все элементы исходного множества от 1 до N. Составим двоичное число из N незначащих нулей. 0000… 0 N Это нулевое двоичное число будет обозначать нулевую выборку с которой и начнётся процесс составления выборок. Разряды числа считаются справа налево, то есть самый левый разряд это самый старший.

Договоримся обозначать это двоичное число большими буквами ДВОИЧНОЕ

Алгоритм

Если ДВОИЧНОЕ число состоит целиком из единиц

То прекращаем работу алгоритма

• Прибавляем к ДВОИЧНОМУ числу единицу по правилам двоичной арифметики.
• Из полученного ДВОИЧНОГО числа составляем очередную выборку, как было описано выше.

Задача 2: Поиск больших простых чисел

Для начала вспомним, что простым числом называется такое натуральное число, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Поиск больших простых чисел - очень важная математическая задача. Большие простые числа необходимы для надёжного шифрования сообщений некоторыми алгоритмами шифрования. Причём необходимы не просто большие числа, а очень большие. Чем число больше, тем надежнее шифр, построенный на этом числе.

Примечание. Надёжным шифром называется такой шифр, для расшифровки которого нужно очень большое время.

Почему? Простое число играет роль ключа при шифровке и дешифровке. Кроме того, мы знаем, что простые числа встречаются в ряду натуральных чисел не слишком часто. Их достаточно много среди первой тысячи, потом их количество начинает быстро убывать. Поэтому если в качестве ключа мы возьмём не очень большое число, дешифровальщик с помощью даже не очень быстрого компьютера сможет до него добраться (перебирая в качестве ключа все простые одно за другим) за ограниченное время.

Достаточно надежный код можно получить если взять простое в котором, например 150 знаков. Однако, найти такое простое не так просто. Предположим, что некоторое число А (очень большое) нужно проверить на простоту. Это тоже самое, что поискать его делители. Если мы сможем найти делители в интервале от 2 до корень квадратный из А, то оно не простое. Оценим количество чисел которые необходимо проверить на способность разделить число А.

Предположим число А имеет 150 знаков. Корень квадратный из него будет содержать не менее 75 знаков. Чтобы перебрать такое количество возможных делителей нам потребуется очень мощный компьютер и огромное время, а это означает, что задача практически не решаема.

Как с этим бороться.

Во-первых, можно поучится быстрее осуществлять проверку на делимость одного числа на другое, во-вторых можно попытаться число А подбирать таким образом, чтобы оно было простым с высокой степенью вероятности. Оказывается это возможно. Математик Мерсен обнаружил, что числа следующего вида

Являются простыми с высокой степенью вероятности.

Чтобы понять фразу написанную выше, посчитаем сколько простых чисел находится в первой тысяче и сколько чисел Мерсена в этой же тысяче являются простыми. Итак, числа Мерсена в первой тысяче - это следующие:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Жирным шрифтом помечены простые числа. Всего на 9 чисел Мерсена 5 простых. В процентах это 5/9*100 = 55,6%. В то же время на 1000 первых натуральных чисел только 169 простых. В процентах это 169/1000*100 = 16,9%. То есть в первой тысяче в процентом отношении простые среди чисел Мерсена встречаются почти в 4 раза чаще, чем среди просто натуральных чисел

___________________________________________________________

А теперь возьмём конкретное число Мерсена, например 2 4 - 1. Запишем его в виде двоичного числа.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Возьмём следующее число Мерсена 2 5 -1 и запишем его двоичным числом. Получим следующее:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Уже видно, что все числа Мерсена представляют собой последовательность единиц и уже сам этот факт даёт большой выигрыш. Во-первых, в двоичной системе счисления получить очередное число Мерсена очень просто, достаточно к очередному числу дописать единицу, во-вторых, искать делители в двоичной системе много проще чем в десятичной.

Быстрый перевод десятичного числа в двоичное

Одна из главным проблем использования двоичной системы счисления - это сложность при переводе десятичного числа в двоичное. Это довольно трудоёмкое дело. Конечно, небольшие числа трёх или четырехзначные перевести не слишком сложно, но для десятичных чисел, в которых 5 и более знаков это уже затруднительно. То есть нам нужен способ, позволяющий быстро переводить в двоичное представление большие десятичные числа.

Такой способ был придуман французским математиком Лежандром. Пусть,например, дано число 11183445. Делим его на 64, получается остаток 21 и частное 174741. Это число делим опять на 64, получается в остатке 21 и частное 2730.Наконец, 2730, деленное на 64, даёт в остатке 42 и частное 42. Но 64 вдвоичной системе есть 1000000, 21 в двоичной системе - 10101, а 42 есть 101010,Поэтому, исходное число запишется в двоичной системе следующим образом:

101010 101010 010101 010101

Чтобы было более понятно, ещё один пример с числом поменьше. Переведём вдвоичное представление число 235. Поделим 235 на 64 с остатком. Получим:

ЧАСТНОЕ = 3, двоичное 11 или 000011

ОСТАТОК = 43, двоичное 101011

Тогда 235 = 11101011, Проверим этот результат:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Примечания:

1. Нетрудно заметить, что в окончательное двоичное число включаются все остатки и на последнем шаге и остаток и частное.
2. Частное записывается перед остатком.
3. Если полученное частное или остаток имеют меньше 6 разрядов, в двоичном представлении (6 нулей содержит двоичное представление числа 64 = 1000000), то к нему добавляются незначащие нули.

И еще один сложный пример. Число 25678425.

Шаг 1: 25678425 делим на 64

Частное = 401225

Остаток = 25 = 011001

Шаг 2: 401225 делим на 64

Частное = 6269

Остаток = 9 = 001001

Шаг 3: 6269 делим на 64

Частное = 97

Остаток = 61 = 111101

Шаг 4: 97 делим на 64

Частное = 1 = 000001

Остаток = 33 = 100001

Число результат = 1.100001.111101.001001.011001

В этом числе точкой отделены входящие в него промежуточные результаты.

Переведите в двоичное представление числа:

ПРИЛОЖЕНИЕ: ТАБЛИЦА 1

Предыдущих главах я рассказал о том, что такое цифровая техника и как устроена вычислительная система на основе микроконтроллера. Я упразднил большое число деталей и надеюсь, что это помогло тебе ухватить главные идеи позади цифровой техники и сейчас ты можешь хоть и поверхностно, но осознанно представить принципы работы цифровых устройств и микроконтроллера в частности.

Всё это время я говорил о том, что цифровые машины стали возможны благодаря простой идее о том, что любую информацию можно представить в виде последовательности из «0» и «1», т. е. закодировать её двоичным числом. При этом я умышленно умолчал о том, как «0» и «1» представляются внутри цифрового устройства. Для понимания основных идей информации было достаточно.

Но если задаться вопросом что такое на самом деле «0» и «1» в цифровом устройстве, то очевидный ответ будет звучать так:«электричество»! Да, «истина» и «ложь» в электронных устройствах кодируются с помощью напряжения (если ты забыл что это такое, то можешь просто воспринимать его как давление воды в трубе. Аналогия хоть и не точная, но зато понятная). На самом деле мы можем что угодно принять за «истину» или «ложь». Просто выбрать два разных значения и одно из них считать за «истину», а второе за «ложь».

Например, возьмём монету, «орла» будем считать за «1», а решку - за «0». Такая простая идея позволяет строить вычислительные машины из чего угодно. Можно даже построить механический компьютер. Правда он будет жутко медленный, очень дорогой и невероятно огромный, т. е. абсолютно бесполезное устройство.

Но вернёмся к электрическому представлению «0» и «1». Инженеры решили этот вопрос в лоб и просто приняли 0 вольт за «0», а за «1» напряжение большее ~2.5 вольт. Были придуманы простейшие схемы (логические элементы), сначала на электронных лампах и реле, а потом на транзисторах, которые умеют распознавать эти уровни напряжения и выполнять логические функции: И, НЕ, ИЛИ, И-НЕ и т. д. На основе этих схем были построены более сложные элементы: триггеры, счетчики, сумматоры, шифраторы и дешифраторы, мультиплексоры и демультиплексоры, регистры, - из которых в дальнейшем были созданы ещё более сложные устройства такие как АЛУ, ячейки памяти и многие другие необходимые блоки современных цифровых устройств.

Соглашение, когда 0В обозначает «0», а ~2.5В обозначает «1» принято называть положительной логикой. Если же принято наоборот (0В = «1», а 2.5В = «0»), то такое соглашение называют отрицательной логикой. Какой вариант использовать -- выбор разработчика. К тому же сейчас существует множество схем, которые работают и с другими напряжениями. В целом они делятся на два больших семейства: ТТЛ (TTL) и КМОП (CMOS). Существуют также более современные семейства LVTTL, LVCMOS. Не буду сейчас на них подробно останавливаться.

Системы счисления

Система счисления - это практически тоже самое, что алфавит для записи слов, только он служит для записи чисел. Двоичный алфавит состоит из цифр «0» и «1», а десятичный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. Восьмиричный из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. С помощью такого «численного алфавита» мы записываем все возможные числа. При этом все современные активно использующиеся системы счисления таковы, что для записи любого числа достаточно только тех цифр, что есть в выбранной системе счисления. При этом количество разных цифр в системе счисления называется её «основанием». Двоичная система имеет основание 2, десятичная -- 10, восьмиричная -- 8, шестандцатиричная -- 16, шестидесятиричная -- 60 и т.д.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных число выражается с помощью набора символов, порядок которых не играет никакой роли. К одной из самых известных непозиционных систем относится римская система записи чисел: XXVIII. Согласись, что записывать римскими цифрами большие числа очень трудно. А производить вычисления ещё не удобней.

В позиционных же наоборот порядок следования цифр играет важную роль, так как он определяет значение числа. Положение каждой цифры называется позицией, каждая позиция имеет свой вес. Число в любой системе счисления можно записать с помощью простой формулы:

D = d p-1 b p-1 + d p-2 b p-2 + ... + d 1 b 1 + d 0 b 0 .d -1 b -1 + d -2 b -2 + ... + d -n b -n

С помощью этой формулы можно записать как целое число, так и число дробное. p -- число знаков слева от точки, а n -- после запятой, а b -- это основание системы. Для примера запишем число 22.15:

22.15 = d 2-1 b 2-1 + d 2-2 b 2-2 .d -1 b -1 +d -2 b -2 = 2 1 10 1 + 2 0 10 0 .1 -1 10 -1 +5 -2 10 -2

Одной из древнейших из дошедших до нас позиционых систем счисления является шестидесятиричная. И осталась она нам от Вавилона. Отголоски применения такой системы до сих пор можно встретить при определении времени и углов. В этой системе каждый следующий разряд был на 60 больше предыдущего.

Позиционные системы таковы, что если в результате сложения, полученное число превышает «основание», то мы добавляем новый разряд слева: 5+7 = 12, 11+99 = 110 и т.д. Эти правила сложения тебе известны со времен начальной школы. И они успешно применяются как десятичным, так и к двоичным числам.

Глубже в вопросы систем счисления можно вникнуть по материалам, к примеру, википедии или книг на эту тему. Наша же цель -- это собрать воедино картину мира электроники. Теперь, когда магия систем счисления и представления двоичных чисел в цифровых устройствах развеялась я могу наконец-то перейти к двоичной арифметике и рассказать о ней чуть больше. В частности мы затронем способы представления двоичных чисел в цифровых устройствах, а также затронем типичные арифметические операции, которые применяются для операций с двоичными числами.

Арифметика нулей и единиц

Выполнять арифметические операции достаточно легко, так как у нас всего две цифры и несколько правил:

1 + 0 = 01 0 + 0 = 00 1 + 1 = 10 (+ 1 разряд переноса) = 10 1 * 1 = 01 1 - 1 = 00

При выполнении операций следует всегда учитывать разрядность числа. Если мы складываем двоичные числа на бумаге, то она не играет никакой роли, а вот в реальных устройствах важна. Так как размер, т. е. разрядность чисел, с которыми может работать устройство задаётся на этапе проектирования. Покажу на примере - сложим два числа:

Как видно сумма двух 8-разрядных чисел не всегда равна 8 разрядам. В этом примере мы получили 9! Ниже я показал, что произойдёт, если сложить два 8-разрядных числа в устройстве, которое умеет работать только с 8-разрядными числами, если забыть про перенос в старший разряд.

Мы потеряли самый старший разряд (9-й), который в результате сложения должен был быть равен «1»! Таким образом, реальное цифровое устройство всегда должно уметь учитывать перенос из младшего разряда в старший, иначе некоторые операции сложения всегда будут давать неверный результат.

Кстати, если представить, что число "11111111" -- это максимальное значение некоторого восьми разрядного счетчитка, то добавив к нему единицу мы получим переполнение счетчика и он обнулится.